Die verhopfte Bierprüfung

[Ralph]

Wer mal wieder etwas rätseln mag, dem empfehle ich diese Aufgabe:

http://www.mini-knobelspiele.de/mini-knobelspiel-die-verhopfte-bierpruefung.html

Stift und Zettel tun's auch, man braucht nicht die Holzvariante.

Alles Liebe,
Ralph

PS: Dass man eine Lösung im Internet findet, weiß ich bereits ...

[Ralph]

Die erste Frage, die man sich stellen könnte, wäre die nach der Anzahl der Möglichkeiten der Anordnung der Zahlen 1 bis 12. In der Mathematik werden diese Möglichkeiten als Permutationen bezeichnet. Die Berechnung der Anzahl erfolgt über die Fakultät. Im vorliegenden Fall ergibt sich:

N=12!=1*2*3*4*5*6*7*8*9*10*11*12=479.001.600

Klar, dass man die nicht alle mit Hand durchprobieren möchte ...

Übrigens: Wöllte man alle Möglichkeiten mit beliebigen Wiederholungen jeder Zahl auflisten, so ergäben sich

M=12¹²=12*12*12*12*12*12*12*12*12*12*12*12=8.9161e+012

also noch deutlich (Faktor 1.8614e+004) mehr.

Alles Liebe,
Ralph

Beispiel mit 2:

• Permutationen: N=2!=2 (1,2;2,1)
• Variationen mit Wiederholung: M=2²=4 (1,1;1,2;2,1;2,2)

[Ralph]

Ein weiteres Detail sind die Kombinationen von vier Zahlen aus der Menge der Zahlen von 1 bis 12. Insgesamt gibt es davon

(12!/(4!*(12-4)!)=495

Als nächstes sind die sich jeweils ergebenden Summen vielleicht von Interesse. Die kleinste Summe ist 1+2+3+4=10, die größte Summe ist 12+11+10+9=42. Die Häufigkeitsverteilung der dazwischenliegenden Summen schaut wie folgt aus (numerisch ermittelt):

Summe	Häufigkeit
10	1
11	1
12	2
13	3
14	5
15	6
16	9
17	11
18	15
19	17
20	21
21	23
22	27
23	28
24	31
25	31
26	33
27	31
28	31
29	28
30	27
31	23
32	21
33	17
34	15
35	11
36	9
37	6
38	5
39	3
40	2
41	1
42	1

Es zeigt sich, dass sich 33 Kombinationen mit der Summe 26 ergeben. Im Einzelnen sind dies:

Zähler	Summand 1	Summand 2	Summand 3	Summand 4
1	1	2	11	12
2	1	3	10	12
3	1	4	9	12
4	1	4	10	11
5	1	5	8	12
6	1	5	9	11
7	1	6	7	12
8	1	6	8	11
9	1	6	9	10
10	1	7	8	10
11	2	3	9	12
12	2	3	10	11
13	2	4	8	12
14	2	4	9	11
15	2	5	7	12
16	2	5	8	11
17	2	5	9	10
18	2	6	7	11
19	2	6	8	10
20	2	7	8	9
21	3	4	7	12
22	3	4	8	11
23	3	4	9	10
24	3	5	6	12
25	3	5	7	11
26	3	5	8	10
27	3	6	7	10
28	3	6	8	9
29	4	5	6	11
30	4	5	7	10
31	4	5	8	9
32	4	6	7	9
33	5	6	7	8

[Ralph]

Nun kann man die relevanten Punkte dieses Sterns mal mit Buchstaben (Variablen) versehen. Das könnte dann z.B. so aussehen:

			a
f		l		g		b
	k				h
e		j		i		c
			d

Erkennt Ihr das Sechseck? Ich war so frei, erst die äußeren und dann die inneren Punkte im Uhrzeigersinn mit Buchstaben zu versehen.

Damit ergeben sich folgende Abhängigkeiten: Angekreuzte Buchstaben in einer Zeile sind zu addieren, und das Ergebnis der Summe steht jeweils ganz rechts in der Zeile (dass die Summe aller Zahlen, also 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12=13*6=78 ist, ist sicher leicht einzusehen):

a

b

c

d

e

f

g

h

i

j

k

l

Summe

x

x

x

x

26

x

x

x

x

26

x

x

x

x

26

x

x

x

x

26

x

x

x

x

26

x

x

x

x

26

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

78

mit etwas Umsortieren kann es dann auch so aussehen:

a

c

e

b

d

f

g

h

i

j

k

l

Summe

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

78

x

x

x

x

26

x

x

x

x

26

x

x

x

x

26

x

x

x

x

26

x

x

x

x

26

x

x

x

x

26

oder so:

g

h

i

j

k

l

a

b

c

d

e

f

Summe

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

78

x

x

x

x

26

x

x

x

x

26

x

x

x

x

26

x

x

x

x

26

x

x

x

x

26

x

x

x

x

26

Cluster habe ich mal farblich etwas abgesetzt - kA, ob uns das bei der Lösung weiterhilft ...

Interessant scheint mir auch die Frage, ob es weitere Gesetzmäßigkeiten in dieser Anordnung gibt, z.B. hinsichtlich dieser Summen:

• a+b+c+d+e+f
  
• g+h+i+j+k+l

[Ralph]

Hier mal für den Interessierten noch der Matlab-Code für die Berechnung der Häufigkeitsverteilung und der möglichen Summanden, die in der Summe 26 ergeben:

cnt=0;
propabilityDensity=zeros(12+11+10+9,1);
for x1=1:12
    for x2=x1+1:12
        for x3=x2+1:12
            for x4=x3+1:12
                cnt=cnt+1;
                propabilityDensity(x1+x2+x3+x4)=propabilityDensity(x1+x2+x3+x4)+1;
            end
        end
    end
end
sum26=zeros(propabilityDensity(26),4);
cnt26=0;
for x1=1:12
    for x2=x1+1:12
        for x3=x2+1:12
            for x4=x3+1:12
                if x1+x2+x3+x4==26
                    cnt26=cnt26+1;
                    sum26(cnt26,:)=[x1,x2,x3,x4];
                end
            end
        end
    end
end

Es ergeben sich:
cnt=495
cnt26=33
probabilityDensity -> siehe oben unter "Die Häufigkeitsverteilung der dazwischenliegenden Summen schaut wie folgt aus"
probabilityDensity(26)=33
sum26 -> siehe oben unter "Es zeigt sich, dass sich 33 Kombinationen mit der Summe 26 ergeben. Im Einzelnen sind dies:"

Im Prinzip funktioniert das auch mit einem Schleifendurchlauf, jedoch kenne ich zu Beginn die Anzahl der Kombinationen mit der Summe 26 noch nicht, weswegen ich die Größe der Matrix sum26 noch nicht festlegen kann. Das ist bei Matlab auch nicht notwendig, jedoch reduziert sich die Ausführungsgeschwindigkeit drastisch, wenn in einer Schliefe (und damit potenitell recht häufig) neuer Speicher vom Betiebssystem für die Vergrößerung einer Matrixangefordert werden muss. Deswegen habe ich mich für zwei Schleifen entschieden, auch wenn hier das Problem noch viel zu klein ist, um nennenswert Rechenzeit zu genötigen.

Wer weiß, wie man die Häufigkeitsverteilung mathematisch geschlossen berechnen kann, der möge sich bitte bei mir melden - dann könnte man auf die erste Schliefe verzichten.