Sachaufgaben ...

[Ralph]

unserem Jüngerem (6. Klasse Gymnasium) wurde folgende Bonus-Matheaufgabe gestellt:

Im Tennis-Club unterhalten sich Ina und Karin. Ina sagt: "Ich bin 1½ mal so lang im Club wie du." Karin erwidert: "Früher hast du mal behauptet, dass du sogar 2½ mal so lang Mitglied bist." Darauf Ina: "Das war vor 4 Jahren. " Wie lange sind beide Mitglied?

Ich freue mich schon auf Lösungsvorschläge (:

[Thomas]

6 und 9 Jahre :)
(hab dafür leider keine Formel, habe 3 Versuche im Kopf gemacht)

[Ralph]

Lasst uns doch mal gemeinsam überlegen:

• Für die Zeitdauer, die Ina bis heute im Club ist, setzen wir t_Ih(gesucht).
• Für die Zeitdauer, die Karin bis heute im Club ist, setzen wir t_Kh (gesucht).
• Für die Zeitdauer, die Ina bis früher im Club war, setzen wir t_If.
• Für die Zeitdauer, die Karin bis früher im Club war, setzen wir t_Kf.
• Für die Zeitdauer von früher bis heute setzen wir t₄.

Nun wissen wir folgendes:

I	tIh/tKh	=	3/2	->	2tIh	=	3tKh
II	tIf/tKf	=	5/2	->	2tIf	=	5tKf
III	tKf+t4	=	tKh	->	tkh-tkf	=	t4	->	tKf	=	tKh-t4
IV	tIf+t4	=	tIh	->	tih-tif	=	t4	->	tIf	=	tIh-t4
V	t4	=	4a

Soweit klar?

[Ralph]

Das jetzt aufzulösen, ist nicht mehr so schwer:

III und IV in II -> IIa	2(tIh-t4)	=	5(tKh-t4)
V in IIa -> IIb	2(tIh-4a)	=	5(tKh-4a)

Mit I und IIb haben wir nun zwei Gleichungen mit den gesuchten zwei Unbekannten ... und damit wird das zur Fingerübung:

IIb -> IIc	2tIh-8a	=	5tKh-20a
IIc -> IId	2tIh-5tKh	=	-20a+8a
IId -> IIe	5tKh-2tIh	=	12a
I in IIe -> IIf	5tKh-3tKh	=	12a
IIf -> IIg	2tKh	=	12a
IIg -> IIh	tKh	=	6a
IIh in IIe ->IIgi	5*6a-2tIh	=	12a
IIi -> IIj	30a-2tIh	=	12a
IIj -> IIk	2tIh	=	18a
IIk -> IIl	tIh	=	9a

Es gibt aber auch noch einen anderen Ansatz ...

[Ralph]

Hier gleich noch eine weitere Sachaufgabe: Eine Beteiligung [click] prognostiziert eine Ausschüttung von 215.1% nach zehn Jahren. Welcher durchschnittlichen jährlichen Verzinsung entspricht dies? Zusatzaufgabe: Worauf reduziert sich der effektive jährliche Zinssatz unter Berücksichtigung des 5%igen Agios?

Hinweis: Sie ist etwas höher als das, was man gegenwärtig auf Tagesgeldkonten bekommt, dafür ist ev. auch das Risiko (Totalausfall) höher ... nur, bevor jetzt jemand überstürzt zeichnet ... ;)

[Ralph]

Hier gleich noch eine weitere Sachaufgabe: Eine Beteiligung [click] prognostiziert eine Ausschüttung von 215.1% nach zehn Jahren. Welcher durchschnittlichen jährlichen Verzinsung entspricht dies? Zusatzaufgabe: Worauf reduziert sich der effektive jährliche Zinssatz unter Berücksichtigung des 5%igen Agios?

Hat hier keiner eine Idee?

Tipp: Mit x_t1 als Betrag zu einem beliebigen Zeitpunkt t₁, x_t2 als Betrag zum Zeitpunkt t₂ und dem Zinssatz z über den Zeitraum t₂-t₁ gilt folgendes:

x_t2=x_t1*(1+z)

Habe ich also anfangs x_t1=100€, dann ergeben sich bei einem jährlichen Zinssatz von 4% für x_t2=100€*(1+0,04)=104€, wobei gilt: t₂-t₁=1a. Soweit ist das doch sicher jedem klar ...

[Ralph]

Die Tage erhielt ich folgenden Lösungsvorschlag - vielen Dank für die Einsendung:

deine Lösung ist denkbar kompliziert. Ich habe diesen Ansatz:

i = Alter Ina
k = Alter Karin

(1) i = 1,5 * k (jetzt)
(2) i - 4 = 2,5 * (k - 4) (vor 4 Jahren)

1. Gleichung in die 2. einsetzen:
1,5 * k - 4 = 2,5 * k - 10
1,5 * k auf beiden Seiten subtrahieren und 10 addieren:
6 = k
in Gleichung 1 einsetzen:
i = 9

Dauer: eine Minute.

(1) entspricht (I):

I:	tIh/tKh	=	3/2
tIh = i;tKh = k:	i/k	=	3/2
	i	=	1.5*k

(2) entspricht (IIb)

IIb:	2(tIh-4a)	=	5(tKh-4a)
tIh= i;tKh = k:	2(i-4a)	=	5(k-4a)
Weglassen der Einheit a:	i-4	=	2.5*(k-4)

Ich hab's halt recht formal notiert ...

Mein Ansatz auf dem Papier sah ähnlich aus - die zusätzlichen Variablen t_If, t_Kf und t₄ habe ich erst später eingeführt, als ich den Lösungsweg aufbereitet habe. Der Ansatz unseres Großen übrigens auch, da stand (Bruchstriche gibt's hier leider nicht, daher die Klammern):

I:	i/k	=	1.5
II:	(i-4)/(k-4)	=	2.5

Ob man nun mit Dezimalbrüchen oder gemeinen Brüchen rechnet, bleibt sich hier gleich - ich bevorzuge im allgemeinen gemeine Brüche.

[Ralph]

Hat hier keiner eine Idee?

Tipp: Mit x_t1 als Betrag zu einem beliebigen Zeitpunkt t₁, x_t2 als Betrag zum Zeitpunkt t₂ und dem Zinssatz z über den Zeitraum t₂-t₁ gilt folgendes:

x_t2=x_t1*(1+z)

Habe ich also anfangs x_t1=100€, dann ergeben sich bei einem jährlichen Zinssatz von 4% für x_t2=100€*(1+0,04)=104€, wobei gilt: t₂-t₁=1a. Soweit ist das doch sicher jedem klar ...

Hach ja, vereinfachen wir das jetzt mal für ein Jahr (1a), dann steht da

x[t+1]=x[t]*(1+z) ... wobei t jetzt für einen beliebigen Zeitpunkt steht und t+1 für ein Jahr später (die Einheit a lasse ich weg)

Wie leicht zu sehen ist, gilt dann

x[t+2]=x[t]*(1+z)*(1+z)

und damit allgemein

x[t+n]=x[t]*(1+z)ⁿ

Vielleicht mag nun jemand diese Gleichung nach z umstellen ...

[Stefan]

Die Ausschüttung bekommt man zusätzlich zum eingesetzen Kapital, wenn ich das richtig in Erinnerung habe. Diese "ich lasse andere für mich arbeiten"-Dinger sind nicht so meins.

Dann muß man sich um das eingesetzte Kapital nicht kümmern, sondern kann einfach rechnen:

(1 + p/100)^10 = 2,151
p ist der gesuchte Prozentsatz, also die Verzinsung.

Wurzel ziehen und auflösen:
p = ((10. Wurzel aus 2,151) -1) * 100 = 7,96%

Wie man Agios rechnet, weiß ich nicht mehr.

[Ralph]

Die Ausschüttung bekommt man zusätzlich zum eingesetzen Kapital, wenn ich das richtig in Erinnerung habe.

Ausschüttung ist das, was Du am Ende heraus bekommst. Der Gewinn (Ausschüttung abzüglich Einsatz) beträgt also 115.1% über die zehn Jahre.

Diese "ich lasse andere für mich arbeiten"-Dinger sind nicht so meins.

Ich sehe das anders: Warum anderen kein Kapital geben, damit die ihr Unternehmen durchführen können?

Dann muß man sich um das eingesetzte Kapital nicht kümmern,

Das ist korrekt, es interessiert ja nur das Verhältnis (215.1/100).

sondern kann einfach rechnen:

(1 + p/100)^10 = 2,151
p ist der gesuchte Prozentsatz, also die Verzinsung.

Wurzel ziehen und auflösen:
p = ((10. Wurzel aus 2,151) -1) * 100 = 7,96%

Stimmt auffallend!

Wie man Agios rechnet, weiß ich nicht mehr.

Wenn ich noch 5% Agio zahlen muss, dann beläuft sich der Einsatz nicht auf 100%, sondern auf 105%.

Ich greife mal wieder auf meinen Ansatz zurück:

x[t+n]=x[t]*(1+z)ⁿ

(1+z)ⁿ=x[t+n]/x[t]

1+z=(x[t+n]/x[t])^1/n -> Dein Ansatz mit x[t]=100%=1; hoch 1/n -> Wurzel n

z=(x[t+n]/x[t])^1/n -1

ohne Agio:

z=(215.1/100)^1/n -1=0.079553=7.95%

mit Agio:

z=(215.1/105)^1/n -1=0.074298368=7.43%

LG, Ralph